Yazılar

ikinci Dereceden Denklemler

ikinci dereceden Denklemler

ikinci Dereceden Denklemler? ikinci Dereceden Denklem? denklem Ne Demek?

ikinci Dereceden Denklemler MÖ 2000’lerde Mezopotamyalılar ikinci dereceden denklemlerin pozitif kökünü (çözümünü) bulmak için algoritma geliştirmişlerdi. Mısırlıların da MÖ 2160-1700 tarihleri arasında ikinci dereceden denklemlerin kökünü bulmayı bildikleri Berlin papirüsünden anlaşılıyor.Ama o zamanlar daha “denklem” kavramı gelişmemişti ve gerçek yaşamdan alınan problemlerde ortaya çıkan, dolayısıyla pozitif kökleri (genellikle bir uzunluk) olan denklemlerle uğraşılırdı.

Yunanlılar MÖ 300 yıllarında ikinci dereceden bir denklemi geometrik yöntemlerle çözebiliyorlardı. Yunanlılar için de bir sayı daha çok bir uzunluktu. Yunanlı Diofantus ikinci dereceden denklemleri çözebiliy ordu, ama köklerden sadece birini buluy ordu, köklerin her ikisi de pozitif olduğu zaman bile.

Hintli Aryabhata her iki kökü birden bulmasını biliyodu. Ama bu bilgi daha sonra unutul muşa benziyor, çünkü Brahmagupta köklerden sadece birini bulabiliyormuş gibi bir intiba bırakmıştır. Mahavira en azından pozitif kökü bulmayı mutlaka biliyordu, Srid hara da öyle.

Türk Harizmi ve iranlı Ömer Hayyam da pozitif kökü bulmayı biliyorlardı. Ömer Hayyam ayrıca üçüncü dereceden bir denklemin birden fazla kökü olabileceğini de biliyordu. 1000 yıllarında Araplar ax2n+bxn+c=0 denklemini ikinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliyorlardı.

ispan yol Abraham Bar Hiyya-Ha-Nasi ya da Savasorda ikinci dereceden denklemlerin çözümünü Batı’da ilk kez yayımlayan kişi olarak bilinir (Liber Embadorum kitabında.) Viéte (1540-1603), geometrik yöntemler yerine cebirsel yöntemleri kullanan ilk Batılı matematikçi olmuştur. Al-Harazmi bunu çok daha önceden biliyordu.

Çözümü Çarpanlara Ayırma

Bu yöntem, denklem kolayca çarpanlarına ayrılabiliyorsa tercih edilir. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Örneğin

x^2-8x+12=0
denkleminde çarpımları 12, toplamları -8 olan sayılar bulunur. Bu sayılar -6 ve -2 dir. Denklem şu şekilde yeniden yazılır:
(x-6)(x-2)=0.
Buradan x=6 ve x=2 bulunur.

Kareye Tamamlama Ve Diskriminant

Bu yöntemi anlamak için aşağıdaki eşitliği bilmek gerekir,

x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2.\,\!

Denklemimiz şu şekildeydi

ax^2+bx+c=0 \,\!

x2‘nin katsayısını 1 yapmak için denklemi a’ya bölelim (ilk başta a≠0 aldığımız için bu işlem yapılabilir)

x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!

ya da

x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}.

Kareye tamamlamak için ortadaki terimin katsayısının yarısının karesi sabit sayıyı oluşturmalıdır. Bu yüzden her iki tarafa gereken ifadeyi ekleyelim

x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2,\!

şimdi sol taraf kare şeklinde yazılmaya hazır

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.\,\!

Şimdi sağ tarafın paydasını eşitleyelim

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

Her iki tarafın da karekökünü alalım. Kare kökün özelliğinden dolayı ifade ± şeklinde çıkar

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.

x’i çekersek

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}. elde edilir.

Diskriminant

 

Dsikriminant için örnek durumlar
■ <0: x2+12
■ =0: −43x2+43x13
■ >0: 32x2+12x43
Ana madde: Diskriminant

Yukarıda bulunan ifadedeki b^2-4ac‘ye denklemin diskriminantı ya da deltası denir. Diskriminant denklem hakkında fikir edinmemizi sağlar

\Delta = b^2 - 4ac.\,

Eğer,

\Delta>0 ise denklemin iki gerçek kökü vardır.
\Delta<0 ise gerçek kök yoktur, karmaşık kök vardır.
\Delta=0 ise tek bir gerçek kök denir, kimi zaman buna daburut da denir.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir